Question

已知f（x）=e^x-ax（e=2.718…）
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（0，2）上有兩個零點，求a的取值范圍；
（Ⅲ） A（x_l，y_l），B（x₂，y₂）是f（x）的圖象上任意兩點，且x₁＜x₂，若總存在x_o∈R，使得f′(xo)=

y1-y2

x1-x2

，求證：x_o＞x_l．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=e^x-ax，知f′（x）=e^x-a，再由a的符號進行分類討論，能求出f（x）的單調區間．
（II）由f（x）在區間（0，2）上有兩個零點，知a＞0，且

f(0)=1＞0 f(lna)=elna-alna＜0 f(2)=e2-2a＞0

，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅲ）f′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

等價于ex0=

ex1-ex2

x1-x2

，等式兩邊同時除以ex1，得

ex0

ex1

=

1-ex2-x1

x1-x2

，設t=x₂-x₁，構造函數g（t）=

1-et

-t

=

et-1

t

．由此能夠證明x₀＞x₁．

解答：解：（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=e^x-a＞0，
①當a≤0時，f′（x）=e^x-a＞0在x∈R上恒成立，
所以f（x）在R上單調遞增．
②當a＞0時，∵f′（x）=e^x-a＞0，∴e^x-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）單調遞減，在（lna，+∞）單調遞增．
（II）∵函數f（x）在區間（0，2）上有兩個零點，
∴由（Ⅰ）知a＞0，且

f(0)=1＞0 f(lna)=elna-alna＜0 f(2)=e2-2a＞0

，
解得e＜a＜

e2

2

．
故a的取值范圍是（e，

e2

2

）．
（Ⅲ）證明：f′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

?ex0-a=

ex1-ex2-a(x1-x2)

x1-x2

?ex0=

ex1-ex2

x1-x2

，
等式兩邊同時除以ex1，得

ex0

ex1

=

1-ex2-x1

x1-x2

，
設t=x₂-x₁，則t＞0，
構造函數g（t）=

1-et

-t

=

et-1

t

．
則g′(t)=

et•t-(et-1)

t2

=

et(t-1)+1

t2

＞0在t＞1時恒成立，
所以g（t）在t＞1時恒成立，
所以g（t）＞g（1）=e-1＞1，
所以

ex0

ex1

＞1，故x₀＞x₁．

點評：本題考查函數的增區間的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，考查不等式的證明．綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高．