Question

不等式

x+3

x+1

≤2的解集為A，不等式[x-（a+1）]（2a-x）＞0，（a＜1）的解集為B
（1）求集合A；
（2）若B⊆A，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把已知不等式

x+3

x+1

≤2，右邊的2移項，通分化簡后得到x-1與x+1的商大于等于0，可得出x-1與x+1同號，根據(jù)不等式取解集的方法得出x的取值范圍，進而確定出集合A；
（2）把不等式[x-（a+1）]（2a-x）＞0左右兩邊同時除以-1，不等號方向改變，然后由a小于1，比較a+1與2a的大小關(guān)系，根據(jù)不等式取解集的方法可得出不等式的解集，確定出集合B，由集合B為集合A的子集，得到集合B中的元素都屬于集合A，根據(jù)不等式解集的端點列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集，并根據(jù)a小于1，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）

x+3

x+1

≤2?

x+3-2x-2

x+1

≤0?

x-1

x+1

≥0?x＜-1或x≥1，
則A={x|x＜-1或x≥1}；
（2）[x-（a+1）]（2a-x）＞0，
變形得：[x-（a+1）]（x-2a）＜0，
∵a＜1，∴a+1＞2a，
∴不等式的解集為2a＜x＜a+1，
∴B={x|2a＜x＜a+1}，
∵B⊆A，
∴2a≥1或a+1≤-1⇒a≥

1

2

或a≤-2
又a＜1，
則a的范圍是a≤-2或

1

2

≤a＜1．

點評：此題考查了其他不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化的思想，涉及的知識有：一元二次不等式的解法，兩集合的包含關(guān)系，以及集合關(guān)系中參數(shù)的取值問題，是高考中常考的題型．