Question

【題目】已知直線： ，若存在實數使得一條曲線與直線有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于，則稱此曲線為直線的“絕對曲線”.下面給出的四條曲線方程：

①；②；③；④.

其中直線的“絕對曲線”的條數為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直線l過點A（1，1）．

對于①，y=﹣2|x﹣1|，圖象是頂點為（1，0）的倒V型，而直線l過頂點A（1，1）．所以直線l不會與曲線y=﹣2|x﹣1|有兩個交點，不是直線l的“絕對曲線”；

對于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A為圓心，半徑為1的圓，

所以直線l與圓總有兩個交點，且距離為直徑2，所以存在a=±2，使得圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段的長度恰好等于|a|．

所以圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直線l的“絕對曲線”；

對于③，將y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，

得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．

x1+x2=, x1x2=．

若直線l被橢圓截得的線段長度是|a|，

則

化簡得．

令f（a）=．

f（1），f（3）．

所以函數f（a）在（1，3）上存在零點，即方程有根．

而直線過橢圓上的定點（1，1），當a∈（1，3）時滿足直線與橢圓相交．

故曲線x2+3y2=4是直線的“絕對曲線”．

對于④將y=ax+1﹣a代入.

把直線y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，
∴x1+x2=，x1x2=．
若直線l被橢圓截得的弦長是|a|，

則a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2）

化為a6-16a2+16a-16=0，
令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．
∴函數f（a）在區間（1，2）內有零點，即方程f（a）=0有實數根，當a∈（1，2）時，直線滿足條件，即此函數的圖象是“絕對曲線”．
綜上可知：能滿足題意的曲線有②③④．
故選：C．