Question

（（本小題滿分13分）設O為坐標原點，曲線x²＋y²＋2x－6y＋1＝0上有兩點P、Q關于直線x＋my＋4＝0對稱，又滿足OP⊥OQ.
(1)求m的值；
(2)求直線PQ的方程.

Answer 1

解： (1)曲線方程可化為(x＋1)²＋(y－3)²＝9，是圓心為(－1,3)，半徑為3的圓.
因為點P，Q在圓上且關于直線x＋my＋4＝0對稱，
所以圓心(－1,3)在直線x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.
(2)因為直線PQ與直線y＝x＋4垂直，所以設 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)
則直線PQ的方程為y＝－x＋b.將直線y＝－x＋b代入圓的方程，得2x²＋2(4－b)x＋b²－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)²－4×2(b²－6b＋1)＞0，解得2－3＜b＜2＋3.
x₁＋x₂＝b－4，x₁x₂＝，
y₁y₂＝(－x₁＋b)(－x₂＋b)＝b²－b(x₁＋x₂)＋x₁x₂＝，
因為·＝0，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0，
即＋＝0，得b＝1.
故所求的直線方程為y＝－x＋1.

略