Question

【題目】如圖，正方體的棱長為1，為的中點，在側面上，有下列四個命題：

①若，則面積的最小值為；

②平面內存在與平行的直線；

③過作平面，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，則這樣的平面有4個；

④過作面與面平行，則正方體在面的正投影面積為．

則上述四個命題中，真命題的個數為（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①建立空間坐標系，得到點應該滿足的條件，再根據二次函數的最值的求法求解即可；對于②，平面，所以也與平面相交．故②錯；對于③過作平面，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，因為，且，所以在平面的正投影長度與在平面的正投影長度相等，然后分情況討論即可得到平面的個數；對于④面與面平行，則正方體在面的正投影為正六邊形，且正六邊形的邊長為正三角形外接圓的半徑，故其面積為．

解：對于①，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖1所示；

過作平面，是垂足，過作，交于，連結，

則，，，，，，，

設，則，，

∵，

∴，解得，

∴，，

，

∴，

當時，，①正確；

對于，平面，所以也與平面相交．故②錯；

③過作平面，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，因為，且，故在平面的正投影的長度等于在平面的正投影的長度，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，即使得使得棱，，面的正投影的長度相等，若棱，，面的同側，則為過且與平面平行的平面，若棱，，中有一條棱和另外兩條棱分別在平面的異側，則這樣的平面有3個，故滿足使得棱，，在平面的正投影的長度相等的平面有4個；③正確．

④過作面與面平行，則正方體在面的正投影為一個正六邊形，其中平面，而分別垂直于正三角形和，所以根據對稱性，正方體的8個頂點中，在平面內的投影點重合與正六邊形的中心，其它六個頂點投影恰是正六邊形的六個頂點，且正六邊形的邊長等于正三角形的外接圓半徑（投影線與正三角形、垂直），所以正六邊形的邊長為，所以投影的面積為．④對．

故選：C．