Question

【題目】已知函數f（x）= ，曲線y=f（x）在點（e2 ， f（e2））處的切線與直線2x+y=0垂直（其中e為自然對數的底數）．
（1）求f（x）的解析式及單調遞減區間；
（2）若存在x0∈[e，+∞），使函數g（x）=aelnx+ lnxf（x）≤a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），f′（x）= ，

又由題意有： = ，所以m=2，f（x）= ．

此時，f′（x）= ，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，

所以函數f（x）的單調遞減區間為（0，1）和（1，e）．

（2）解：因為g（x）=aelnx+ ﹣（a+e）x，

由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函數g（x）=aelnx+ lnxf（x）≤a成立，

則只需滿足當x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．

又g（x）=aelnx+ ﹣（a+e）x，

則g′（x）= ，

a≤e，則g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，

∴g（x）在[e，+∞）上單調遞增，

∴g（x）min=g（e）=﹣ ，

∴a≥﹣ ，

∵a≤e，

∴﹣ ≤a≤e．

a＞e，則g（x）在[e，a）上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增，

∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），

∵g（a）＜g（e），a＞e，∴滿足題意，

綜上所述，a≥﹣ ．

【解析】（1）由題意有： = ，可得f（x）的解析式；由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出單調遞減區間；（2）由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函數g（x）=aelnx+ lnxf（x）≤a成立，則只需滿足當x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．