Question

【題目】已知為坐標原點，雙曲線上有兩點滿足，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

討論直線的斜率是否存在：當斜率不存在時，易得直線的方程，根據及點O到直線距離即可求得的關系，進而求得離心率；當斜率存在時，設出直線方程，聯立雙曲線方程，結合及點到直線距離即可求得離心率。

（1）當直線的斜率不存在時，由點到直線的距離為可知直線的方程為

所以線段

因為，根據等腰直角三角形及雙曲線對稱性可知，即

雙曲線中滿足

所以，化簡可得同時除以 得

，解得

因為，所以

（2）當直線的斜率存在時，可設直線方程為

，聯立方程可得

化簡可得

設

則，

因為點到直線的距離為

則，化簡可得

又因為

所以

化簡得

即

所以，雙曲線中滿足

代入化簡可得

求得，即

因為，所以

綜上所述，雙曲線的離心率為

所以選A