Question

已知函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件f（1-x）=f（1+x），且函數g（x）=f（x）-x只有一個零點．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求實數m，n（m＜n），使得f（x）的定義域為[m，n]時，f（x）的取值范圍是[3m，3n]．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為二次函數f（x）=ax²+bx滿足條件f（1-x）=f（1+x），
所以函數f（x）圖象的對稱軸是直線x=1．所以-=1，即b=-2a． …2分
因為函數g（x）=f（x）-x只有一個零點，即ax²-（2a+1）x=0有等根．
所以△=（2a+1）²=0．…4分
即a=-，b=1．所以f （x）=-x²+x． …6分
（Ⅱ）①當m＜n＜1時，f （x）在[m，n]上單調遞增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是-x²+x=3x的兩根．
解得m=-4，n=0； …8分
②當m≤1≤n時，3n=，解得n=．不符合題意； …10分
③當1＜m＜n時，f （x）在[m，n]上單調遞減，所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即-m²+m=3n，-n²+n=3m．
相減得-（m²-n²）+（m-n）=3（n-m）．
因為m≠n，所以-（m+n）+1=-3．所以m+n=8．
將n=8-m代入-m²+m=3n，
得-m²+m=3（8-m）．但此方程無解．
所以m=-4，n=0時，f （x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]．…14分．
分析：（I）由已知中f（1-x）=f（1+x），可得到函數f（x）圖象的對稱軸是直線x=1，若f（x）-x只有一個零點，即對應的二次方程的△=0，由于構造關于a，b的方程組，求出a，b值后，即可得到函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據（1）中的解析式，我們分m＜n＜1，m≤1≤n，1＜m＜n三種情況分析討論滿足f（x）的定義域為[m，n]時，f（x）的取值范圍是[3m，3n]的m，n值，最后綜合討論結果，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是函數解析式的求法，函數的定義域和值域，函數的零點，其中（2）中討論區間[m，n]與對稱軸的關系，是解答二次函數問題最常見的思路．