Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²．數列{b_n}為等比數列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{c_n}滿足c_n=a_bn，求數列{c_n}的前n項和T_n，并證明T_n≥1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對于數列{a_n}，已知S_n=n²，利用遞推公式可求當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，當n=1時，a₁=S₁=1可求a_n，對于數列{b_n}，是等比數列，設公比為q，及b₁=1，b₄=b₁q³=8，可求q，進而可求b_n
（Ⅱ）由題意可得，cn=abn=2bn-1=2ⁿ-1，結合數列的特點可考慮利用分組求和，結合等差數列及等比數列的求和公式可求．

解答：（Ⅰ）解：∵數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）2=2n-1．
當n=1時，a₁=S₁=1亦滿足上式，故an=2n-1，（n∈N^*）．     
數列{b_n}為等比數列，設公比為q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，∴q=2．
∴b_n=2^n-1（n∈N^*）．    
（Ⅱ）證明：c_n=a_bn=2b_n-1=2ⁿ-1．
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）=（2¹+2²+…2ⁿ）-n=

2(1-2n)

1-2

-n
∴T_n=2ⁿ⁺¹-2-n．     
∵T_n-T_n-1=2ⁿ-1＞0，∴T_n＞T_n-1，∴T_n＞T_n-1＞…＞T₁=1．
∴T_n≥1．

點評：本題綜合考查等比數列與等差數列，涉及數列的性質及數列的求和，求出數列的通項是關鍵．