Question

【題目】已知曲線M上的動點到定點距離是它到定直線距離的一半．

（1）求曲線M的方程；

（2）設過點且傾斜角為的直線與曲線M相交與A、B兩點，在定直線l上是否存在點C，使得，若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1）由題意列出關于x，y的關系式，整理即可得到曲線M的方程；

（2）首先可根據題意得出直線的方程為，然后與橢圓方程聯立，求得、點坐標，再然后假設在定直線上存在點，使得，即可通過題意中的列出方程，最后通過觀察方程無實數解即可得出結果。

（1）由題意可得，，化簡得，曲線M的方程為；

（2）由題意可知直線的方程為，設點，

由，得，解得，，，

分別代入，得．即點，

假設在定直線上存在點，使得，則，

因為，

所以，整理得，

因為，

所以上述方程無實數解，即在定直線l上不存在點C，使得。