Question

【題目】已知橢圓 的焦距為，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，且直線的斜率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過(guò)左焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn) 為橢圓上一點(diǎn)，且滿足，問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 為定值.過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）焦距說(shuō)明，用點(diǎn)差法可得＝.這樣可解得，得橢圓方程；

（2）若，這種特殊情形可直接求得，在時(shí)，直線方程為，設(shè)，把直線方程代入橢圓方程，后可得，然后由紡長(zhǎng)公式計(jì)算出弦長(zhǎng)，同時(shí)直線方程為，代入橢圓方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而計(jì)算出，最后計(jì)算即可.

詳解：（1）由題意可知，設(shè)，代入橢圓可得：

，兩式相減并整理可得，

，即.

又因?yàn)?/span>，，代入上式可得，.

又，所以，

故橢圓的方程為.

（2）由題意可知，，當(dāng)為長(zhǎng)軸時(shí)，為短半軸，此時(shí)

；

否則，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消可得，

，

則有：，

所以

設(shè)直線方程為，聯(lián)立，根據(jù)對(duì)稱性，

不妨得，

所以.

故，

綜上所述，為定值.