Question

【題目】三棱錐中，，△為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為.則三棱錐體積的最大值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由已知作出圖象，找出二面角的平面角，設出的長，即可求出三棱錐的高，然后利用基本不等式即可確定三棱錐體積的最大值（用含有長度的字母表示），再設出球心，由球的表面積求得半徑，根據球的幾何性質，利用球心距，半徑，底面半徑之間的關系求得的長度，則三棱錐體積的最大值可求.

如圖所示，過點作面，垂足為，過點作交于點，連接，

則為二面角的平面角的補角，即有，

易知面，則，而△為等邊三角形，

∴為中點，

設，

則c，

故三棱錐的體積為：，

當且僅當時，體積最大，此時共線.

設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，

由已知，，得.

過點作于F，則四邊形為矩形，

則， ，，

在△中，解得

∴三棱錐的體積的最大值為：.

故選：D.