Question

（1）求過直線x+y+4=0與x-y+2=0的交點，且平行于直線 x-2y=0的直線方程．
（2）設直線4x+3y+1=0和圓x²+y²-2x-3=0相交于點A、B，求弦AB的長及其垂直平分線的方程．
（3）過點P（3，0）有一條直線l，它夾在兩條直線l₁：2x-y-2=0與l₂：x+y+3=0之間的線段恰被P點平分，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先聯立直線x+y+4=0與x-y+2=0的方程，求交點坐標，因為所求直線平行于直線 x-2y=0，所以斜率與直線x-2y=0的斜率相等，求出斜率，再用點斜式寫出方程，化為一般式即可．
（2）把圓方程化為標準方程，求出圓心坐標和半徑，再求出圓心到直線4x+3y+1=0的距離，在圓中，半徑，半弦，弦心距構成直角三角形，滿足勾股定理，就可求出半弦的值，進而求出弦AB的長．
直線l的垂直平分線斜率等于直線l的斜率的負倒數，且過圓心，用點斜式求出方程即可．
（3）先設出M與N兩點的坐標，因為P為線段MN的中點，利用中點坐標公式即可列出兩點坐標的兩個關系式，然后把M的坐標代入直線l₁，把B的坐標代入直線l₂，又得到兩點坐標的兩個關系式，把四個關系式聯立即可求出M的坐標，然后由M和P的坐標，利用兩點式即可寫出直線l的方程．

解答：解：（1）解方程組

x+y+4=0 x-y+2=0

，得

x=-3 y=1

∴交點坐標為（-3，1），
又∵所求直線平行于直線 x-2y=0，∴斜率為

1

2

∴直線方程為y-1=

1

2

（x+3），即x-2y+5=0
（2）圓x²+y²-2x-3=0可化為（x-1）²+y²=4，∴圓心C的坐標為（1，0），半徑為2．
圓心C到直線4x+3y+1=0的距離d=

|4+1|

5

=1
∴

1

2

|AB|=

r2+d2

=

5

，
∴|AB|=2

5

∵直線l的斜率為-

4

3

，∴垂直平分線的斜率為

3

4

又∵直線l的垂直平分線過圓心（1，0），∴方程為y=

3

4

（x-1）
化簡得，3x-4y-3=0
（3）設直線l夾在直線l₁，l₂之間的部分是MN，且MN被P（3，0）平分．
設點M，N的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則有

x1+x2=6 y1+y2=0

又∵M，N兩點分別在直線l₁，l₂上，∴

2 x1-y1-2=0 x2+y2+3=0

由上述四個式子得 x₁=

11

3

，y₁=

16

3

，即M點坐標是（

11

3

，

16

3

），
∴直線l的方程為8x-y-24=0．

點評：此題考查了兩直線交點的求法，直線平行的充要條件的應用，圓中弦長的求法，直線之間關系的判斷，做題時要靈活運用所學知識進行計算．