Question

已知正△ABC的邊長為, CD是AB邊上的高,E、F分別是AC和BC邊的中點,現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖所示.                    
（1）試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;
（2）若棱錐E-DFC的體積為,求的值;
（3）在線段AC上是否存在一點P,使BP⊥DF？如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）平行； （2）； （3）存在AP：AC=1：3

試題分析：（1）由于E、F分別是AC和BC邊的中點，所以在翻折后的三角形ABC中，.由線面平行的判定定理可得結論.
（2）由棱錐E-DFC的體積為，因為△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，并且平面BCD，即由三棱錐的體積公式，即可求出結論.
（3）在線段AC上是否存在一點P,使BP⊥DF,即轉化為直線與平面垂直的問題，假設存在點P作,k為垂足，連結BK即可得到直線DF 平面BPK，所以可得.通過三角形的相似即可得到所求的結論.
(1)AB//平面DEF,
如圖.在△ABC中,∵E,F分別是AC,BC的中點,故EF//AB,
又AB平面DEF,∴AB//平面DEF,   4分
(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD, 將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B
∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中點M,則EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2
,a="2."   8分
(3)存在滿足條件的點P.
做法：因為三角形BDF為正三角形,過B做BK⊥DF,延長BK交DC于K,過K做KP//DA,交AC于P.則點P即為所求.
證明：∵AD⊥平面BCD , KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又 BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.
故AP：OC=1：2,AP：AC=1：3    12分