Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且2PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（Ⅰ）求異面直線EF與AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）求證：BC∥面EFG；
（Ⅲ）求三棱錐E-AFG的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）判斷∠DAG是EF與AG所成的角，然后直接求異面直線EF與AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）首先證明BC∥EF，然后證明BC∥面EFG；
（Ⅲ）通過V_E-AFG=V_G-AEF，即可求三棱錐E-AFG的體積．

解答：解：（Ⅰ）解：因為E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，所以EF∥AD，
于是，∠DAG是EF與AG所成的角…（2分）
∵AD=2，DG=1，AG=

5

，
∴cos∠DAG=

2 5

5

，
∴EF與AG所成角的余弦值是

2 5

5

…（4分）
（Ⅱ）證明：因為BC∥AD，AD∥EF，所以BC∥EF…（6分）
∵BC?平面EFG，EF?平面EFG，
∴BC∥平面EFG…（8分）
（Ⅲ）解：V_E-AFG=V_G-AEF=

1

3

S△AEF•DG=

1

12

…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，幾何體的體積的求法，兩條直線的夾角的求法，考查空間想象能力，計算能力．