Question

海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節每天從0時至24時的時間x（單位：時）與水深y（單位：米）的關系表：

（1）請選用一個函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系；
（2）一條貨輪的吃水深度（船體最低點與水面的距離）為12米，安全條例規定船體最低點與洋底間隙至少要有1.5米，請問該船何時能進出港口？在港口最多能停留多長時間？

Answer 1

分析：（1）設出函數解析式，據最大值與最小值的差的一半為A；最大值與最小值和的一半為h；通過周期求出ω，得到函數解析式．
（2）據題意列出不等式，利用三角函數的周期性及單調性解三角不等式求出t的范圍．

解答：解：（1）以時間為橫坐標，水深為縱坐標，考慮用函數y=h+Asin（ωx+φ）刻畫水深與時間之間的對應關系．
從數據可以得出：A=3，h=12，T=12，φ=0．
由T=

2π

ω

=12，得ω=

π

6

．
所以這個港口的水深與時間的關系可用y=12+3sin

π

6

x，x∈[0，24]近似描述．

（2）貨船需要的安全水深為12+1.5=13.5，所以當y≥13.5時就可以進港．
令12+3sin

π

6

x≥13.5，∴sin

π

6

x≥

1

2

．
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

•x≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
即12k+1≤x≤12k+5，k∈Z．
∵x∈[0，24]，∴1≤x≤5或13≤x≤17．
因此，貨船在1點至5點可以進出港；或13點至17點可以進出港．
每次可以在港口最多能停留4小時．

點評：本題考查通過待定系數法求函數解析式、利用三角函數的單調性及周期性解三角不等式．