Question

（1）a，b，c∈R，求證：a²+b²+c²≥ab+bc+ca（綜合法證明）
（2）求證：

2

-

3

＜

6

-

7

（分析法證明）

Answer 1

分析：（1）根據2（a²+b²+c² ）-2（ab+bc+ca）=（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，可得2（ a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca），從而證得結論．
（2）把證明不等式轉化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經具備為止．

解答：解：（1）由于2（a²+b²+c² ）-2（ab+bc+ca）=（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，
∴2（ a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
（2）要證：

2

-

3

＜

6

-

7

，只要證

2

+

7

＜

3

+

6

，
只要證 (

2

+

7

)2＜(

3

+

6

)2，
即證 9+2

14

＜9+2

18

，即證 2

14

＜2

18

，
即證 14＜18．
而14＜18顯然成立，
故要證的不等式成立．

點評：本題主要考查用綜合法（由因導果）證明不等式、分析法證（執果索因）明不等式，屬于中檔題．