Question

（1）a，b，c∈R，求證：a²+b²+c²≥ab+bc+ca；
（2）求證：

a

-

a+3

＜

a+2

-

a+5

（a≥0）

Answer 1

分析：（1）由基本不等式，得a²+b²≥2ab、b²+c²≥2bc且c²+a²≥2ca，將此三式相加后化簡可得原不等式恒成立；
（2）由a≥0得0＜

a

+

a+3

＜

a+2

+

a+5

，根據不等式的倒數法則，對不等式兩邊取倒數，再化簡整理即可得到原不等式恒成立．

解答：解：（1）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca
∴三式相加，得2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca
當且僅當a=b=c時，等號成立
不等式兩邊都除以2，得a²+b²+c²≥ab+bc+ca
即原不等式恒成立；
（2）∵a≥0，
∴0＜

a

+

a+3

＜

a+2

+

a+5

取倒數，得

1

a + a+3

＞

1

a+2 + a+5

＞0
化簡得

a - a+3

( a + a+3 )( a - a+3 )

＞

a+2 - a+5

( a+2 + a+5 )( a+2 - a+5 )

即-

a - a+3

3

＞-

a+2 - a+5

3

，
兩邊都乘以-3，可得

a

-

a+3

＜

a+2

-

a+5

．

點評：本題通過兩個不等式恒成立的證明，考查了基本不等式、不等式的基本性質和倒數的性質等知識，屬于基礎題．