Question

【題目】（Ⅰ）已知函數f（x）=|2x﹣3|﹣2|x|，若關于x不等式f（x）≤|a+2|+2a恒成立，求實數a的取值范圍； （Ⅱ）已知正數x，y，z滿足2x+y+z=1，求證 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x﹣3|﹣|2x|≤|（2x﹣3）﹣2x|=3， ∴3≤|a+2|+2a，
當a＜﹣2時，不等式為3≤﹣a﹣2+2a，解得a≥5（舍），
當a≥﹣2時，不等式為3≤a+2+2a，解得a≥ ，
綜上，a的取值范圍是[ ，+∞）．
（Ⅱ）∵2x+y+z=1，∴（x+2y+z）+（z+3x）=4x+2y+2z=2，
∴ = （ ）[（x+2y+z）+（z+3x）]
≥ ×（1+ ）2=2+ ．
【解析】（I）利用絕對值不等式的性質得出f（x）的最大值，得出關于a的不等式，再討論a+2的符合解不等式即可；（II）利用柯西不等式即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．