Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為和 ，過點的直線與橢圓相交于兩點，且,。

（1）求橢圓的離心率；

（2）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線上有一點在 的外接圓上，求的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由且，得，從而，由此可以求出橢圓的離心率；（2）當時,得， , 線段的垂直平分線的方程為直線與軸的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為，設直線的方程為，由 ，可以推導出的值.

試題解析：（1）解：由// 且，得，從而

整理，得，故離心率

(2)解法一：由（II）可知

當時，得，由已知得.

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸

的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點H（m，n）的坐標滿足方程組

， 由解得故

當時，同理可得.

解法二：由（II）可知

當時，得,由已知得

由橢圓的對稱性可知B， ，C三點共線，因為點H（m，n）在的外接圓上，

且，所以四邊形為等腰梯形.

由直線的方程為,知點H的坐標為.

因為，所以，解得m=c（舍），或.

則，所以.

當時同理可得.

【 方法點睛】本題主要考查橢圓性質與離心率以及圓的方程與性質，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據圓錐曲線的統一定義求解．