Question

【題目】已知函數f（x）=|xex+1|，關于x的方程f2（x）+2sinαf（x）+cosα=0有四個不等實根，sinα﹣cosα≥λ恒成立，則實數λ的最大值為（ ）
A.﹣
B.﹣
C.﹣
D.﹣1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：f（x）=|xex+1|= ，當x≥0時，f′（x）=ex+1+xex+1≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數；
當x＜0時，f′（x）=﹣ex+1﹣xex+1=﹣ex+1（x+1），
由f′（x）=0，得x=﹣1，當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）=﹣ex+1（x+1）＞0，f（x）為增函數，
當x∈（﹣1，0）時，f′（x）=﹣ex+1（x+1）＜0，f（x）為減函數，
所以函數f（x）=|xex+1|的極大值為f（﹣1）=|（﹣1）e0|=1，
極小值為：f（0）=0，
令f（x）=m，由韋達定理得：m1+m2=﹣2sinα，m1m2=cosα，
此時若sinα＞0，則當m1＜0，且m2＜0，
此時方程f2（x）+2sinαf（x）+cosα=0至多有兩個實根，
若sinα＜0，則當m1＞0，且m2＞0，
要使方程f2（x）+2sinαf（x）+cosα=0有四個實數根，
則方程m2+2sinαm+cosα=0應有兩個不等根，
且一個根在（0，1）內，一個根在（1，+∞）內，
再令g（m）=m2+2sinαm+cosα，
因為g（0）=cosα＞0，①
△=4sin2α﹣4cosα＞0，則1﹣cos2α﹣cosα＞0，②
則只需g（1）＜0，即1+2sinα+cosα＜0，
所以0＜cosα＜﹣1﹣2sinα，③
由①②解得：0＜cosα＜ ，④
由③④得到：sinα＜ ， ＜cosα＜ ，
所以sinα﹣cosα＜ ﹣ =﹣ ，
∴λ≤﹣ ．
故選：A．