Question

【題目】已知數列、，其中， ，數列滿足,，數列滿足．

（1）求數列，的通項公式；

（2）是否存在自然數，使得對于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；

（3）若數列滿足，求數列的前項和.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 的最小值為16.

(3) .

【解析】試題分析：第一問將式子變形，得到兩項的比值，之后用累乘法求得通項公式，一定需要注意對進行驗證；第二問轉化成最值來處理，第三問需要對為奇數和為偶數兩種情況進行討論求得結果.

（1）由，即，．

又，所以

. ……………………2分

當時，上式成立，故 ……………………3分

因為，所以是首項為2，公比為2的等比數列，

故. ……………………5分

(2) 由（1）知，則

.……………………7分

假設存在自然數，使得對于任意有恒成立，即恒成立，由，解得． ……………………9分

所以存在自然數，使得對于任意有恒成立，此時， 的最小值為16. ……………………………………10分

（3）當為奇數時，

；………………13分

當為偶數時，

. ………………15分

因此

………………16分