Question

定義平面向量之間的一種運算“?”如下，對任意的

a

=（m，n），

b

=（p，q），令

a

?

b

=mq-np，給出下面五個判斷：
①若

a

與

b

共線，則

a

?

b

=0；
②若

a

與

b

垂直，則

a

?

b

=0；
③

a

?

b

=

b

?

a

；
④對任意的λ∈R，有(λ

a

)?

b

=λ(

a

?

b

)；
⑤（

a

?

b

）²+（

a

•

b

）²=|

a

|²|

b

|²
其中正確的有

①④⑤

（請把正確的序號都寫出）．

Answer 1

分析：①若

a

與

b

共線，則由向量共線的坐標表示可得，mq-np=0，而

a

?

b

=mq-np=0，從而可判斷
②若

a

與

b

垂直，則由向量垂直的坐標表示可得，

a

•

b

=mp+nq=0，結合題目定義可判斷
③由題目定義可得，

a

?

b

=mq-np，

b

?

a

=pn-mq，，從而可判斷
④對任意的λ∈R，代入已知定義可判斷(λ

a

)?

b

=λ(

a

?

b

)；
⑤（

a

?

b

）²+（

a

•

b

）²=（mq-np）²+（mp+nq）²，（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|2|

b

|2，從而可判斷

解答：解：①若

a

與

b

共線，則由向量共線的坐標表示可得，mq-np=0，而

a

?

b

=mq-np=0，正確；
②若

a

與

b

垂直，則由向量垂直的坐標表示可得，

a

•

b

=mp+nq=0，而

a

?

b

=mq-np=0不一定成立，錯誤；
③由題目定義可得，

a

?

b

=mq-np，

b

?

a

=pn-mq，不一定相等，錯誤；
④對任意的λ∈R，(λ

a

)?

b

=λmq-λnp=λ（mq-np）=λ

a

?

b

正確
⑤（

a

?

b

）²+（

a

•

b

）²=（mq-np）²+（mp+nq）²=（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|2|

b

|2，正確
故答案為：①④⑤

點評：本題在平面向量的基礎上，加以創新，屬創新題型，考查平面向量的基礎知識以及分析問題、解決問題的能力．