Question

定義平面向量之間的一種運算“*”如下：對任意的

a

=(m，n)，

b

=(p，q)，令

a

*

b

=mq-np．給出以下四個命題：（1）若

a

與

b

共線，則

a

*

b

=0；（2）

a

*

b

=

b

*

a

；（3）對任意的λ∈R，有(λ

a

)*

b

=λ(

a

*

b

)（4）(

a

*

b

)2+(

a

•

b

)2=|

a

|2•|

b

|2．（注：這里

a

•

b

指

a

與

b

的數量積）則其中所有真命題的序號是（　　）

• A、（1）（2）（3）
• B、（2）（3）（4）
• C、（1）（3）（4）
• D、（1）（2）（4）

Answer 1

分析：利用向量共線的坐標形式的充要條件及題中對*運算的定義判斷出（1）是真命題；利用對“*”的定義分別求出

a

*

b   ；

b

*

a

判斷出（2）假；利用對“*”的定義求出(λ

a

)*

b

 ，λ(

a

*

b

)判斷出（3）真命題；利用對“*”的定義求(

a

*

b

)2+(

a

•

b

)2判斷出（4）對；綜合可得答案．

解答：解：對于（1）若

a

∥

b

，則mq-np=0，所以

a

*

b

=0，故（1）真
對于（2）∵

a

*

b

=mq-np；

b

*

a

=pn-qm，∴

a

*

b

≠

b

*

a

故（2）假
對于（3）∵(λ

a

)*

b

=(λm，λ n)*(p，q)=λmq-λnp；λ(

a

*

b

)=λ(mq-np)=λmq-λnp
∴(λ

a

)*

b

=λ(

a

*

b

)故（3）真
對于（4）(

a

*

b

)2+(

a

•

b

)2=(mq-np)2 +(mp+nq)2=（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|2•|

b

|2，故（4）真
故選C

點評：本題考查向量共線的充要條件、考查理解題中的新定義、新定義題是近幾年高考常考的題型．