Question

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，.
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60º；
（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，
⊥AP，并證明你的結論.

Answer 1

（１）60º. （２）Q為的中點

試題分析：（１）利用空間向量研究線面角，關鍵在于正確表示各點坐標，正確求出平面一個法向量，正確理解線面角與向量夾角之間互余的關系. 建立空間直角坐標系，則A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0), B1(1,1,1),  D1(0,0,2). 所以又由知為平面的一個法向量. =，解得（２）同（1）若在上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，則.，即Q為的中點.
（１）建立空間直角坐標系，則
A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),
B1(1,1,1),  D1(0,0,2).所以
又由的一個法向量.設與所成的角為，
則=，      5分
解得.故當時，直線AP與平面所成角為60º.    7分
（２）若在上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，
則.
依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等價于

即Q為的中點時，滿足題設的要求.                 14分