Question

如圖，在正四棱錐P－ABCD中，PA＝AB＝，點M，N分別在線段PA和BD上，BN＝BD．
（1）若PM＝PA，求證：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小為，求線段MN的長度．

Answer 1

（1）詳見解析;（2）．

試題分析：（1）由于這是一個正四棱錐，故易建立空間坐標系，易得各點的坐標，由，得，由，得，即可求得向量的坐標：．不難計算出它們的數量積，問題得證;（2）利用在上，可設，得出點的坐標，表示出，進而求出平面的法向量n＝(λ－1，0，λ)，由向量的夾角公式可得，解得，從而確定出，由兩點間距離公式得.
試題解析：證明：連接交于點，以為軸正方向，以為軸正方向，為軸建立空間直角坐標系．
因為，則．
（1）由，得，由，得，
所以．
因為．所以.                   4分
（2）因為在上，可設，得．
所以．
設平面的法向量，
由得
其中一組解為，所以可取n＝(λ－1，0，λ).        8分
因為平面的法向量為，
所以，解得， 
從而，
所以.                      10分