Question

【題目】橢圓b2x2+a2y2＝a2b2（a＞b＞0）的兩個焦點分別是F1、F2，等邊三角形的邊AF1、AF2與該橢圓分別相交于B、C兩點，且2|BC|＝|F1F2|，則該橢圓的離心率等于（　 　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由△AF1F2為正三角形可得∠AF1F2＝∠A＝60°，則可求直線AF1，AF2的斜率，進而可求B點坐標，代入橢圓的方程，結合b2＝a2﹣c2及0＜e＜1可求離心率．

由△AF1F2為正三角形可得∠AF1F2＝∠AF2F1＝60°

則直線AF1，AF2的斜率分別為 ，

則直線AF1，AF2所在的直線方程分別為y，y，

其交點A（0，c），由于2|BC|＝|F1F2|，得BC是三角形的中位線，得B是AF1的中點，

從而AF1中點B（ ，）在橢圓上，代入橢圓的方程可得

整理可得，c2（a2﹣c2）+3c2a2＝4a2（a2﹣c2）

∴4a4﹣8a2c2+c4＝0

兩邊同時除以a4可得，e4﹣8e2+4＝0

∵0＜e＜1

∴，（舍）

∴

故選：C．