Question

某種上市股票在30天內每股的交易價格P（元）、日交易量Q（萬股）與時間t（天）的對應關系分別如下：[有序數對（t，P）落在圖中的折線上，日交易量Q（萬股）與時間t（天）的部分數據如表所示．]

第t天	4	10	16	22
Q（萬股）	36	30	24	18

（1）根據圖甲的圖象，寫出該種股票每股交易價格P（元）與時間t（天）所滿足的函數關系式；
（2）根據表中數據確定日交易量Q（萬股）與時間t（天）的一次函數關系式；
（3）用y（萬元）表示該股票日交易額，寫出y關于t的函數關系式，并求這30天中第幾天日交易額最大，最大值為多少？
（注：各函數關系式都要寫出定義域．）

Answer 1

分析：（1）設出分段函數，利用圖象，建立方程組，即可求得P滿足的函數關系式；
（2）設出Q的一次函數關系式，將（4，36），（10，30）代入，即可求得結論；
（3）先確定y關于t的函數關系式，分段求最值，即可求得函數的最大值．

解答：解：（1）設P(t)=

k1t+b1 (0＜t≤20，t∈N*) k2t+b2 (20＜t≤30，t∈N*)

，
依題意及由圖象甲可得：

b1=2 20k1+b2=6

及

20k2+b2=6 30k2+b2=5

解得：

b1=2 k1= 1 5

及

b2=8 k2=- 1 10

…（4分）
故所求P滿足的函數關系式P(t)=

1 5 t+2 (0＜t≤20，t∈N*) - t 10 +8 (20＜t≤30，t∈N*)

…（5分）
（2）依題意設Q（t）=k₃t+b₃，0＜t≤30，t∈N^*，
把前兩組數據代入得：

4k3+b3=36 10k3+b3=30

，解得：

k3=-1 b3=40

，
故Q的一次函數關系式是Q（t）=-t+40，0＜t≤30，t∈N^*…（8分）
（3）依題意：當0＜t≤20，t∈N^*時，y=(

1

5

t+2)(-t+40)=-

1

5

(t-15)2+125
當20＜t≤30，t∈N^*時，y=(-

1

10

t+8)(-t+40)=

1

10

(t-60)2-40
故y關于t的函數關系式：y=

- 1 5 (t-15)2+125(0＜t≤20，t∈N*) 1 10 (t-60)2-40(20＜t≤30，t∈N*)

，…（12分）
若0＜t≤20，t∈N^*，則t=15時，y_max=125（萬元）
若20＜t≤30，t∈N^*，則y＜

1

10

(20-60)2-40=120（萬元）
∴第15天日交易額最大為125萬元．                     …（14分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查函數解析式的運用，考查函數的最值，確定函數的解析式是關鍵．