Question

現有4人去旅游，旅游地點有A、B兩個地方可以選擇．但4人都不知道去哪里玩，于是決定通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去哪里玩，擲出能被3整除的數時去A地，擲出其他的數則去B地；
（1）求這4個人中恰好有1個人去A地的概率；
（2）求這4個人中去A地的人數大于去B地的人數的概率；
（3）用X，Y分別表示這4個人中去A、B兩地的人數，記ξ=|X•Y|．求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統計

分析：（1）依題意，這4個人中，每個人去A地旅游的概率為

1

3

，去B地的人數的概率為

2

3

，由此能求出這4個人中恰有1人去A地游戲的概率．
（2）設“這4個人中去A地的人數大于去B地的人數”為事件B，則B=A₃∪A₄，由此能求出這4個人中去A地的人數大于去B地的人數的概率．
（3）ξ的所有可能取值為0，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ．

解答： 解：（1）依題意，這4個人中，每個人去A地旅游的概率為

1

3

，
去B地的人數的概率為

2

3

設“這4個人中恰有i人去A地旅游”為事件A_i（i=0，1，2，3，4）
∴P(Ai)=

C

i 4

(

1

3

)i(

2

3

)4-i．（2分）
這4個人中恰有1人去A地游戲的概率為P(A1)=

C

1 4

(

1

3

)1(

2

3

)3=

32

81

．（4分）
（2）設“這4個人中去A地的人數大于去B地的人數”為事件B，則B=A₃∪A₄，
∴P(B)=P(A3)+P(A4)=

1

9

．（8分）
（3）ξ的所有可能取值為0，3，4，
P(ξ=0)=P(A0)+P(A4)=

16

81

+

1

81

=

17

81

，
P(ξ=3)=P(A1)+P(A3)=

32

81

+

8

81

=

40

81

，
P(ξ=4)=P(A2)=

24

81

，（10分）
∴ξ的分布列是

ξ	0	3	4
P	17 81	40 81	24 81

Eξ=0×

17

81

+3×

40

81

+4×

24

81

=

8

3

．（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題．