Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的右準線為直線，左頂點為，右焦點為. 已知斜率為2的直線經過點，與橢圓相交于兩點，且到直線的距離為

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過的直線與直線分別相交于兩點，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）根據準線方程和原點到直線的距離可求出，從而可得橢圓的標準方程.

（2）設，，聯立直線和直線的方程可得的坐標，同理可得的坐標，根據可得的坐標關系，聯立直線和橢圓的方程，利用韋達定理化簡前述關系可求斜率的值.

解：（1）設橢圓的焦距為，

則直線的方程為，即.

因為到直線的距離為，故，

所以，則.

因為橢圓的右準線的為直線，則，所以，，

故橢圓的標準方程為.

（2）由(1)知：，設，.

由得，則 .

由，可知，

由得，

同理.

因為，所以，

由圖可知，

所以，

即，

所以

.