Question

三角函數內容豐富，公式很多．如果你仔細觀察、敢于設想、科學求證，那么你也能發現其中的一些奧秘．請你完成以下問題：
（1）計算：（直接寫答案）

cos2°

sin47°

+

cos88°

sin133°

=

2

cos5°

sin50°

+

cos85°

sin130°

=

2

（2）根據（1）的計算結果，請你猜出一個一般性的結論：

cos(θ-45°)

sinθ

+

cos(135°-θ)

sin(180°-θ)

=

2

．（用數學式子加以表達，并證明你的結論，寫出推理過程．）

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的誘導公式、三角函數的和角差角公式化簡得：

cos2°

sin47°

+

cos88°

sin133°

=

cos2°

sin47°

+

sin2°

sin47°

=

2

；同理，

cos5°

sin50°

+

cos85°

sin130°

=

2

，
（2）根據（1）的計算結果，請你猜出一個一般性的結論：

cos(θ-45°)

sinθ

+

cos(135°-θ)

sin(180°-θ)

=

2

，利用三角函數的誘導公式、三角函數的和角差角公式證明即得．

解答：解：（1）

cos2°

sin47°

+

cos88°

sin133°

=

cos2°

sin47°

+

sin2°

sin47°

=

cos2°+sin2°

sin47°

=

2 sin47°

sin47°

=

2

同理，

cos5°

sin50°

+

cos85°

sin130°

=

2

，
故答案為：

2

；

2

．
（2）根據（1）的計算結果，請你猜出一個一般性的結論：

cos(θ-45°)

sinθ

+

cos(135°-θ)

sin(180°-θ)

=

2

證明如下：

cos(θ-45°)

sinθ

+

cos(135°-θ)

sin(180°-θ)

=

cos(θ-45°)

sinθ

+

sin(θ-45°)

sinθ

=

2 sinθ

sinθ

=

2

．
故答案為：（1）

2

，

2

；（2）

cos(θ-45°)

sinθ

+

cos(135°-θ)

sin(180°-θ)

=

2

．

點評：本小題主要考查三角函數的誘導公式、三角函數的和角差角公式、類比推理等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．