Question

已知

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f（x）=

m

•

n

滿足f（

π

6

）=2，且f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間[0，

π

2

]上總有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，f（x）=

m

•

n

，我們根據平面向量數量積公式，可以得到函數的解析式，（含參數a，b），進而根據f（

π

6

）=2，且f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱．我們可以構造關于a，b的方程，解方程即可求出a，b的值．
（II）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間[0，

π

2

]上總有實數解，我們可以求出函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域，構造一個對數不等式，解不等式即可求出實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=asin2x+bsinxcosx=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x
由f(

π

6

)=2得，a+

3

b=8①
∵f（x）的圖象關于x=

π

3

對稱，∴f(0)=f(

2

3

π)∴b=

3

a②
由①、②得，a=2，b=2

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cos2x+

3

sin2x=2sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得

1

8

≤k≤1，即k∈[

1

8

，1]．

點評：本題考查的知識點是函數y=Asin（ωx+φ）解析式的求法，正弦型函數的值域，及對數的性質，其中根據已知求出函數f（x）的解析式是解答本題的關鍵．