Question

已知

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f(x)=

m

•

n

滿(mǎn)足f(

π

6

)=2，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

π

12

對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+log₂k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，f(x)=

m

•

n

，我們可以求出函數(shù)的解析式，及導(dǎo)函數(shù)的解析式（含參數(shù)a，b），結(jié)合已知中，f(

π

6

)=2，導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

π

12

對(duì)稱(chēng)，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解方程組，即可求出a，b的值．
（II）若關(guān)于x的方程f（x）+log₂k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上總有實(shí)數(shù)解，即f（x）=-log₂k有解，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域B，再根據(jù)-log₂k∈B，構(gòu)造關(guān)于k的對(duì)數(shù)方程，解方程即可求出答案．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=asin2x+bsinxcosx=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x
由f(

π

6

)=2得，a+

3

b=8①
∵f'（x）=asin2x+bcos2x，又∵f'（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

π

12

對(duì)稱(chēng)，∴f′(0)=f′(

π

6

)，
∴b=

3

2

a+

1

2

b，即b=

3

a②
由①、②得，a=2，b=2

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cos2x+

3

sin2x=2sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得

1

8

≤k≤1，即k∈[

1

8

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，函數(shù)恒成立問(wèn)題，數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)形式（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，（2）的關(guān)鍵是求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域B．