Question

【題目】已知函數φ（x）= ，a＞0
（1）若函數f（x）=lnx+φ（x），在（1，2）上只有一個極值點，求a的取值范圍；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x1 ， x2∈（0，2]，且x1≠x2 ， 都有 ＜﹣1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=lnx+φ（x）=lnx+ ，（x＞0，a＞0），

f′（x）= ﹣ ，

當f′（1）f′（2）＜0時，函數f（x）在區間（1，2）上只有一個極值點，

即為（1﹣ a）（ ﹣ a）＜0，

解得：4＜a＜ ；

（2）解：∵ ＜﹣1，

∴有 +1＜0，

∴ ＜0，

設h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數．

當1≤x≤2時，h（x）=lnx+ +x，h′（x）= ﹣ +1，

令h′（x）≤0，得：a≥ +（x+1）2=x2+3x+ +3對x∈[1，2]恒成立，

設m（x）=x2+3x+ +3，則m′（x）=2x+3﹣ ，

∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3﹣ ＞0，

∴m（x）在[1，2]上遞增，則當x=2時，m（x）有最大值為 ，

∴a≥ ；

當0＜x＜1時，h（x）=﹣lnx+ +x，h′（x）=﹣ ﹣ +1，

令h′（x）≤0，得：a≥﹣ +（x+1）2=x2+x﹣ ﹣1，

設t（x）=x2+x﹣ ﹣1，則t′（x）=2x+1+ ＞0，

∴t（x）在（0，1）上是增函數，

∴t（x）＜t（1）=0，

∴a≥0

【解析】（1）求出函數的導數，得到f′（1）f′（2）＜0，解出即可；（2）設h（x）=g（x）+x，依題意得出h（x）在（0，2]上是減函數．下面對x分類討論：①當1≤x≤2時，②當0＜x＜1時，利用導數研究函數的單調性從及最值，即可求得求a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．