Question

【題目】已知與曲線相切的直線，與軸， 軸交于兩點， 為原點， ， ，（ ）.

（1）求證:： 與相切的條件是： .

（2）求線段中點的軌跡方程；

（3）求三角形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）寫出直線的截距式方程，化為一般式，化圓的一般式方程為標準式，求出圓心坐標和半徑，由圓心到直線的距離等于半徑得到曲線C與直線l相切的充要條件；
（2）設出線段AB的中點坐標，由中點坐標公式得到a，b與AB中點坐標的關系，代入（1）中的條件得線段AB中點的軌跡方程．（3）因為a與b都大于2，且三角形AOB為直線三角形，要求面積的最小值即要求ab的最小值，根據（1）中直線l與圓相切的條件（a-2）（b-2）=2解出ab，然后利用基本不等式即可求出ab最小時當且經當a與b相等，求出此時的a與b即可求出面積的最小值．

試題解析：

(1)圓的圓心為，半徑為1.可以看作是的內切圓。

內切圓的半徑，

即，

即，

．

(2)線段AB中點為

∴（）

(3) ，

，

解得， ，

，

最小面積．