Question

（2013•上海）如圖，已知雙曲線C₁：

x2

2

-y2=1，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C₁，C₂都有公共點，則稱P為“C₁-C₂型點”
（1）在正確證明C₁的左焦點是“C₁-C₂型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設直線y=kx與C₂有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C₁-C₂型點”；
（3）求證：圓x²+y²=

1

2

內的點都不是“C₁-C₂型點”

Answer 1

分析：（1）由雙曲線方程可知，雙曲線的左焦點為（-

3

，0），當過左焦點的直線的斜率不存在時滿足左焦點是“C₁-C₂型點”，當斜率存在時，要保證斜率的絕對值大于等于該焦點與（0，1）連線的斜率；
（2）由直線y=kx與C₂有公共點聯立方程組有實數解得到|k|＞1，分過原點的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說明過遠點的直線不可能同時與C₁和C₂有公共點；
（3）由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=-x±1之間，進而說明當|k|≤1時過圓x2+y2=

1

2

內的點且斜率為k的直線與C₂無公共點，當|k|＞1時，過圓x2+y2=

1

2

內的點且斜率為k的直線與C₂有公共點，再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍，結果與|k|＞1矛盾．從而證明了結論．

解答：（1）解：C₁的左焦點為（-

3

，0），寫出的直線方程可以是以下形式：
x=-

3

或y=k(x+

3

)，其中|k|≥

3

3

．
（2）證明：因為直線y=kx與C₂有公共點，
所以方程組

y=kx |y|=|x|+1

有實數解，因此|kx|=|x|+1，得|k|=

|x|+1

|x|

＞1．
若原點是“C₁-C₂型點”，則存在過原點的直線與C₁、C₂都有公共點．
考慮過原點與C₂有公共點的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．
顯然直線x=0與C₁無公共點．
如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組

y=kx x2 2 -y2=1

，得x2=

2

1-2k2

＜0，矛盾．
所以直線y=kx（|k|＞1）與C₁也無公共點．
因此原點不是“C₁-C₂型點”．
（3）證明：記圓O：x2+y2=

1

2

，取圓O內的一點Q，設有經過Q的直線l與C₁，C₂都有公共點，顯然l不與x軸垂直，
故可設l：y=kx+b．
若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=-x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=-kx±1之間，
從而過Q且以k為斜率的直線l與C₂無公共點，矛盾，所以|k|＞1．
因為l與C₁由公共點，所以方程組

y=kx+b x2 2 +y2=1

有實數解，
得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-2=0．
因為|k|＞1，所以1-2k²≠0，
因此△=（4kb）²-4（1-2k²）（-2b²-2）=8（b²+1-2k²）≥0，
即b²≥2k²-1．
因為圓O的圓心（0，0）到直線l的距離d=

|b|

1+k2

，
所以

b2

1+k2

=d2＜

1

2

，從而

1+k2

2

＞b2≥2k2-1，得k²＜1，與|k|＞1矛盾．
因此，圓x2+y2=

1

2

內的點不是“C₁-C₂型點”．

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了點到直線的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．