Question

（1）已知圓的方程是x²+y²=4，求斜率等于1的圓的切線的方程；
（2）若實數x，y，t，滿足

x2

9

+

y2

16

=1且t=x+y，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設直線方程為：y=x+b，根據圓心到直線的距離d=

|b|

2

=2，求出b值，即得切線方程．
（2）由題意得方程組

y=-x+t x2 9 + y2 16 =1

有解，由判別式：△≥0求得t的范圍．

解答：解：（1）設直線方程為：y=x+b，∵直線與圓相切，設圓心到直線的距離為d，

∴d=

|b|

2

=2，∴b=±2

2

．∴切線方程為：x-y±2

2

=0．
（2）直線 l； y=-x+t 與橢圓 C：

x2

9

+

y2

16

=1 有交點，
則方程組

y=-x+t x2 9 + y2 16 =1

有解，∴將 y=-x+t 代入橢圓方程

x2

9

+

y2

16

=1得：
25x²-18tx+9t²-144=0，
∴該二次方程的判別式：△=（-18t）²-4×25（9t²-144）≥0，解得 t∈[-5，5]．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，根據直線和橢圓有交點的條件，判斷方程組

y=-x+t x2 9 + y2 16 =1

有解是解題的關鍵．