Question

已知直線a與平面α所成的角為15°，點P為空間一定點，過點P作與α成45°、與a成60°的直線l可以作（　　）

A．2條

B．3條

C．4條

D．無數條

Answer 1

分析：設直線a與平面α交于點A，過點A作與α成45°的直線，它在如圖的軸截面為等腰直角三角形的圓錐側面上運動．設a在α內的射影為直線b，a、b確定的平面為β，由直線與平面所成角的性質可得當圓錐的母線在落在平面β內時，它與a所成角為60°或30°．由此將圓錐的母線繞點A旋轉并觀察母線與直線a所成角的變化，可得圓錐側面上共有三條母線所在的直線與a所成角為60°，由此結合異面直線所成角的定義可得滿足條件的直線l的條數．

解答：解：設直線a與平面α相交于點A，a在α內的射影直線為b，
設圓錐的頂點為A點，圓錐的軸AO⊥平面α，圓錐的軸截面為等腰
Rt△ABC，如圖所示．
可得圖中圓錐的任意一條母線與平面α所成角都等于45°，
設直線c為圓錐的一條母線所在直線，直線a、b確定的平面為β，
由直線與平面所成角的性質，可得當c落在平面β內時，
直線c與直線a所成角等于45°+15°或45°-15°，
當c與AB所在直線重合時，c與a所成角為60°；當c與AC所在直線重合時，c與a所成角為30°．
當直線c從AC的位置按順時針方向旋轉到AB位置時，a、c所成角從30°增大到90°，再減小到60°，
這個過程中必定有一個位置滿足c與a所成角為60°；
同理當直線c從AC的位置按逆時針方向旋轉到AB位置時，這個過程中也存在一個位置滿足c與a所成角為60°．
綜上所述，經過點A的直線c共有3條滿足c與a所成角為60°．
將滿足條件的直線c平移到使它經過空間的點P得到直線l，
根據異面直線所成角的定義，可得直線l與直線a所成角為60°，滿足條件的直線l有3條．
∴過點P作與α成45°、與a成60°的直線l可以作3條．
故選：B

點評：本題給出直線a與平面α所成角的大小，求過點P作與α成45°且與a成60°的直線l的條數．著重考查了異面直線所成角的定義及性質直線與平面所成角的性質及其應用等知識，屬于中檔題．