Question

已知無窮數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和Sn=

1

3

an-1，則數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和為

 

Answer 1

分析：若想求數(shù)列的前N項(xiàng)和，則應(yīng)先求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n，由已知條件Sn=

1

3

an-1，結(jié)合a_n=S_n-S_n-1可得遞推公式an=-

1

2

an-1，因?yàn)槭乔鬅o窮遞縮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和，故由公式S=

lim

x→∞

Sn=

a1

1-q

=-1即得

解答：解：由Sn=

1

3

an-1可得：（n≥2）Sn-1=

1

3

an-1-1，
兩式相減得并化簡：an=-

1

2

an-1（n≥2），
又a1=

1

3

a1-1?a1=-

3

2

，
所以無窮數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且公比為-

1

2

，
即無窮數(shù)列{a_n}為遞縮等比數(shù)列，
所以所有項(xiàng)的和S=

lim

x→∞

Sn=

a1

1-q

=-1
故答案是-1

點(diǎn)評：本題主要借助數(shù)列前N項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，考查了數(shù)列的遞推公式和無窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和公式，并檢測了學(xué)生對求極限知識的掌握，屬于一個(gè)比較綜合的問題．