Question

（2013•菏澤二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點O為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切；若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點．直線OA和OB的斜率分別為k_OA和k_OB，且k_OA•k_OB=-

b2

a2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：△OAB的面積為定值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的離心率為

1

2

，圓心到直線x-y+

6

=0的距離等于b及c²=a²-b²聯立方程組求解a²，b²，則橢圓的方程可求；
（2）把直線l的方程和橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求出直線和橢圓兩個交點的橫坐標的和與積，代入直線方程求出兩交點的縱坐標的積，結合k_OA•k_OB=-

b2

a2

得到k與m的關系，借助于弦長公式求出|AB|的長度，由點到直線的距離公式求出O到直線y=kx+m的距離，寫出三角形AOB的面積后轉化為含有k的代數式，整理后得到結果為定值．

解答：（1）解：由題意得

c a = 1 2 c2=a2-b2 b= |0-0+ 6 | 2

，解得a²=4，b²=3．
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：設A（x₁，y₁），（x₂，y₂），則A，B的坐標滿足

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，
整理得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
由△＞0，得4k²-m²+3＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2

4m2-12

3+4k2

+km(-

8km

3+4k2

)+m2=

3m2-12k2

3+4k2

．
∵kOA•kOB=-

3

4

，∴

y1y2

x1x2

=-

3

4

，即y1y2=-

3

4

x1x2，
∴

3m2-12k2

3+4k2

=-

3

4

•

4m2-12

3+4k2

，即2m²-4k²=3．
∵|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)• 48(4k2-m2+3) (3+4k2)2

=

48(1+k2) (3+4k2)2 • 3+4k2 2

=

24(1+k2) 3+4k2

．
O到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

，
∴S△AOB=

1

2

d|AB|=

1

2

|m|

1+k2

24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

m2 1+k2 • 24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

3+4k2 2 • 24 3+4k2

=

3

．為定值．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．