Question

【題目】橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為A，上頂點為B，且滿足向量 。

（1）若，求橢圓的標準方程;

（2）設為橢圓上異于頂點的點，以線段PB為直徑的圓經過F1，問是否存在過F2的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件的直線，斜率.

【解析】

（1）由上頂點為B和 ，可以判斷出為等腰直角三角形，可以得，又右頂點為A，可以求出，利用，可以求出，最后求出橢圓標準方程。

（2）由（1）可知，利用，可以得出，橢圓方程可以表示成，由已知線段PB為直徑的圓經過,設的坐標為，可知,得出一個等式，而為橢圓上異于頂點的點，又得到一個等式，通過兩個等式可以求出的坐標，也就可以求出圓心坐標和半徑。假設存在過F2的直線與該圓相切，通過圓心到切線等于半徑，列出等式，如果能求出，就說明存在，求不出，就說明不存在。

（1）易知，因為，

所以為等腰直角三角形，

所以b=c，由可知，

故橢圓的標準方程為：；

（2）由已知得，

設橢圓的標準方程為，的坐標為，

因為,所以，

由題意得,所以，

又因為在橢圓上，所以,由以上兩式可得，

因為不是橢圓的頂點，所以，故，

設圓心為，則，

圓的半徑

假設存在過的直線滿足題設條件，并設該直線的方程為，

由相切可知,所以 ，

即，解得

故存在滿足條件的直線。