Question

已知函數定義域為（）,設．

（1）試確定的取值范圍,使得函數在上為單調函數；

（2）求證:；

（3）求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數．

 

Answer 1

【答案】

（1） 因為

由；由,

所以在上遞增,在上遞減

欲在上為單調函數,則            -----------------3分

（2）因為在上遞增,在上遞減,

所以在處取得極小值 

又,所以在上的最小值為 

從而當時,,即                -----------------6分

（3）因為,所以即為,

 令,從而問題轉化為證明方程                  =0在上有解,并討論解的個數  --------7分                  

因為,

,             --------------8分

所以 ① 當時,,

所以在上有解,且只有一解

② 當時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解

③ 當時,,

所以在上有且只有一解；

④ 當時,在上也有且只有一解    ------------10分

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當時,有唯一的適合題意；

當時,有兩個適合題．

【解析】略