Question

已知函數(shù)f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，g（x）=x²-（a-1）x-f（lnx），且g（x）在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明：對（-∞，+∞）上任意兩個互異的實數(shù)x，y，都有；
（Ⅲ）已知△ABC的三個頂點(diǎn)A，B，C都在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，求證△ABC是鈍角三角形．并問它可能是等腰三角形嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） ，由g'（1）=0，能求出a．
（Ⅱ） ，由于lnx是增函數(shù)，因此只要證即可．
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），x₁＜x₂＜x₃，則x₂-x₁=x₃-x₂=d＞0，而，所以f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．由此能夠推導(dǎo)出△ABC不可能是等腰三角形．
解答：解：（Ⅰ） g（x）=x²-（a-1）x-aln（1+x）+（a+1）lnx，
，
由g'（1）=0，得2-a+1-+a+1=0，
解得a=8．
（Ⅱ）∵
且lnx是增函數(shù)，
因此只要證，
即證．
實際上，當(dāng)x≠y時，有．
∴對（-∞，+∞）上任意兩個互異的實數(shù)x，y，都有．
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），x₁＜x₂＜x₃，
則x₂-x₁=x₃-x₂=d＞0，
而，
所以f（x）在（-∞，+∞）上遞減，
故f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．
此時，
=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（f（x₁）-f（x₂））（f（x₃）-f（x₂））＜0，
∴∠ABC＞90．
若，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₂）-f（x₃），
得，這與（Ⅱ）的結(jié)論矛盾．
因為∠ABC是鈍角，
所以△ABC不可能是等腰三角形．
點(diǎn)評：本題考查實數(shù)值的求法，不等式的證明，等腰三角形的判斷．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維的要求較高．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．