Question

【題目】已知函數.

（1）當且時，證明.

（2）令，若時，恒成立，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）先將所證不等式轉化成，再令

，求出導數，然后求出的極小值，若極小值大于或等于0即證.

（2）求得的導數，令，求出單調區間和最值，討論

①當當即時，

②當即時，求出單調性，以及最小值，解不等式即可得到的取值范圍.

詳解：

（1）等價于，

即．

∵，∴等價于．

令，

則．

∵，∴．

當時，，單減；

當時，，單增．

∴在處有極小值，即最小值，

∴，

∴且時，不等式成立．

（2）∵，∴．

令，∴，

當時，，∴在上單增，

∴．

當即時，恒成立，即，∴在

上單增，

∴，所以．

當即時，∵在上單增，

且，

當時，，

∴，使，即．

當時，，即單減；

當時，，即單增．

∴，

∴，由，∴，

記，∴，∴在上單調 遞增，∴，∴，綜上，．