Question

【題目】如圖，在多面體ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F為BC的中點．

（1）求證：AF⊥BD；
（2）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，F為BC的中點，

∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF底面ABC，

∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC面BCD，

∴AF⊥面BCD，又BD面BCD，∴AF⊥BD．

（2）解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標系如圖，

∴B（2，0，0），D（0，2，2），E（0，0，1），

， ，

設面BED的一個法向量為 ，

則 ，令z=2得x=1，y=﹣1，∴ ，

又面ABE的一個法向量為 ，

∴ ，

∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是銳角，

∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出AF⊥BC，從而AF⊥DC，進而AF⊥面BCD，由此能證明AF⊥BD．（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．