Question

【題目】設為奇函數，為常數．

（1）求證：是上的增函數；

（2）若對于區間上的每一個值，不等式恒成立，求實數取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由奇函數的定義域關于原點對稱可得，，即，則令，得到的根必為相反數，從而求出a，再根據定義法證明是上的增函數即可；

（2）由題意知，時恒成立，令，根據單調性的運算可判斷的單調性，從而求出最值.

（1）∵是奇函數，∴定義域關于原點對稱，

由，得．令，得，，

∴，解得，，令，

設任意，且，則，

∵，∴，，，∴，即．

∴是減函數，又為減函數，

∴在上為增函數；

（2）由題意知，時恒成立，

令，，

由（2）知在上為增函數，又在上也是增函數，

故在上為增函數，∴的最小值為，

∴，故實數的范圍是．