Question

設函數f(x)=sin(2ωx-

π

6

)-2cos2ωx+1，若f（x）的最小正周期為8．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求當x∈[0，2]時y=g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，根據周期求ω的值；
（Ⅱ）結合（Ⅰ），求出y=f（x）的表達式，圖象關于直線x=1對稱，求出函數y=g（x），根據x∈[0，2]，求出y=g（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωxcos

π

6

-cos2ωxsin

π

6

-cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx
=

3

sin(2ωx-

π

3

)（4分）
∵f（x）的最小正周期為T=

2π

2ω

=8，故ω=

π

8

（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=

3

sin(

π

4

x-

π

3

)
在y=g（x）的圖象上任取一點（x，g（x）），它關于x=1的對稱點（2-x，g（x））．
由題設條件，點（2-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，
從而g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π

4

(2-x)-

π

3

]
=

3

sin[

π

2

-

π

4

x-

π

3

]=

3

cos(

π

4

x+

π

3

)（8分）
當0≤x≤2時，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

5π

6

，
因此當x=2時，y=g（x）在區間[0，2]上取得最小值為：gmin(x)=

3

cos

5π

6

=-

3

2

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，三角函數的最值，考查計算能力，是基礎題．