Question

（2013•棗莊二模）F₁，F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，過點F₂作此雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為M，滿足|

MF1

|=

2

|

MF2

|，則此雙曲線的漸近線方程是（　　）

• A．y=±2x
• B．y=±

  1

  2

  x
• C．y=±

  2

  x
• D．y=±

  2

  2

  x

Answer 1

分析：依題意，可求得：|MF₂|=b，|MF₁|=

2

b；繼而通過解方程組求得M點的坐標是：M（

a2

c

，

ab

c

），由|MF1|2=(c+

a2

c

)2+(

ab

c

)2=2b²，可求得b=2a，從而可求得該雙曲線的漸近線方程．

解答：解：設過F₂（c，0）向漸進線y=

b

a

x，即bx-ay=0作垂線，則有：|MF₂|=

|bc-a×0|

a2+b2

=

bc

c

=b，
那么有|MF₁|=

2

b．
直線MF₂的斜率k=-

a

b

，則MF₂的方程是y=-

a

b

（x-c），
與y=

b

a

x聯立解得M點的坐標是：M（

a2

c

，

ab

c

）．
所以|MF1|2=(c+

a2

c

)2+(

ab

c

)2=2b²，
即c²+

a4

c2

+2a²+

a2b2

c2

=2b²，
∴c²+

a2(a2+b2)

c2

+2a²=2b²，
∵a²+b²=c²，
∴a²+b²+a²+2a²=2b²，
∴b²=4a²．又a＞0，b＞0，
∴b=2a．
∴該雙曲線的漸近線方程為：y=±

b

a

=±2x．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查轉化思想與方程思想，求得M點的坐標是關鍵，也是難點，考查推理與運算能力，屬于難題．