Question

已知數列{a_n}滿足遞推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求證數列{a_n+1}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）已知數列{b_n}有bn=

n

an+1

求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n=2a_n-1+1（n≥2），a₄=15，代入計算，可求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）由a_n=2a_n-1+1（n≥2）得a_n+1=2（a_n-1+1），即可得到數列{a_n+1}是等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）利用錯位相減法，可求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：（Ⅰ）解：由a_n=2a_n-1+1（n≥2），及a₄=15，知a₄=2a₃+1得a₃=7
同理得a₂=3，a₁=1------（3分）
（Ⅱ）證明：由a_n=2a_n-1+1（n≥2）得a_n+1=2（a_n-1+1）
所以，數列{a_n+1}是首項為a₁+1=2，公比為2的等比數列
所以，an+1=(a1+1)×2n-1，
所以，數列{a_n}的通項公式為an=2n-1------（3分）
（Ⅲ）解：∵an=2n-1，∴bn=

n

an+1

=

n

2n

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
由①-②錯位相減得：(1-

1

2

)Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

故：Sn=2-

1

2n-1

-

n

2n

------（4分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查錯位相減法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．