Question

已知拋物線C的一個焦點為F（，0），對應于這個焦點的準線方程為x=-.

（1）寫出拋物線C的方程；

（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求△AOB重心G的軌跡方程；

（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓（x-3）²+y²=2的切線，切點分別是M，N.當P點在何處時，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

Answer 1

解析：（1）拋物線方程為：y²=2x.

（2）①當直線不垂直于x軸時，設方程為y=k(x-)，代入y²=2x，得：k²x²-(k²+2)x+.

設A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，則x₁+x₂=，y₁+y₂=k(x₁+x₂-1)=.

設△AOB的重心為G（x，y）則，消去k得y²=為所求，

②當直線垂直于x軸時，A（，1），B（，-1），△AOB的重心G（，0）也滿足上述方程.

綜合①②得，所求的軌跡方程為y²=，

（3）設已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=，

根據圓的性質有：|MN|=2.

當|PQ|²最小時，|MN|取最小值，

設P點坐標為(x₀，y₀)，則y=2x₀.|PQ|²=（x₀-3）²+ y= x-4x₀+9=(x₀-2)²+5，

∴當x₀=2，y₀=±2時，|PQ|²取最小值5，

故當P點坐標為（2，±2）時，|MN|取最小值